Potencije s cjelobrojnim eksponentima

Potencije su nam bitne radi kraćeg zapisivanja nekih matematičkih izraza.

Prisjetimo ih se:  a = a¹

                          a • a = a²

                          a • a • a = a³

                                 ...

                          a • a • ... • a = aⁿ

 

                         1/a = a^-1

                         1/(a • a) = a^-2 

                            ... i tako dalje.

Broj a nazivamo baza potencija, a broj n je eksponent.

Važno za zapamtiti: a⁰ = 1 !!!

 

Za negativne brojeve vrijedi:

Parni eksponent	Neparni eksponent
(-1)2 = 1	(-1)1 = -1
(-1)4 =1	(-1)3 = -1
...	...
(-1)2n = 1	(-1)2n-1 = -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Primjer 1. Napišimo u obliku potencije s bazom 10 brojeve:

a) 1 , b) 10,  c) 100,  d) 1000,  e) 0.1,  f) 0.01,  g) 0.

 

Rješenje   

a) 1 = 10⁰

b) 10 = 10¹

c) 100 = 10²        jer je 100 = 10 * 10

d) 1000 = 10³      jer je 1000 = 10 * 10 * 10

e) 0.1 = 10^-1        jer je 0.1 = 1/10 = 10^-1

f) 0.01 = 10^-2       jer je 0.01 = 1/100 = 10^-2

g) 0 se ne može tako napisati jer je 10ⁿ > 0 za svaki cijeli broj n.

 

Primjer 2. Napišite kao potenciju s bazom 3 ili -3.

a) 9,  b) 81,  c) -27,  d) 243,  e) -(1/243),  f) 0.9,  g) 4/12.

 

Rješenje

a) 9 = 3²

b) 81 = 3⁴

c) -27 = (-3)³    

d) 243 = 3⁵

e) -(1/243) = (-3)^-5

f) 0.9 = 9/10 i njega ne možemo napisati kao potenciju broja 3 jer 10 ne možemo napisati kao potenciju broja 3.

g) 4/12 = 1/3 = 3^-1

 

Pokušajte sami

 

1. Zapišite u obliku potencije s bazom 4 brojeve:

a) 16,  b) 4,  c) 1/4,  d) 1/16,  e) 1,  f) 0,  g) 1/64.

 

2. Zapišite u obliku potencije s bazom 2 brojeve:

a) 4,  b) 128,  c) 1/32,  d) -8,  e) 0,  f) -(1/32),  g) (-1/16).

 

Primjer 3.

Napišite bez negativnih eksponenata: 

a) a^-3  b) ab^-1  c) (a+b)^-1  d) 5^-1/a^-2  e) x^-3y  f) (10/-11)^-2 .

 

Rješenje

a) a^-3 = 1/a³

b) ab^-1 = a/b

c) (a+b)^-1 = 1/(a+b)

d) 5^-1/a^-2 = a²/5

e) x^-3y = y/x³

f) (10/-11)^-2 = (11/10)²

 

Pokušajte sami

 

3.  Napišite bez negativnih eksponenata:

a) (1/a)^-3,  b) 2a^-7,  c) (2a)^-7,  d) (-5/4)^-3,  e) (a-b)^-1,  f) 5-1/a^-2.

 

 

Primjer 3. Izračunajte:

a) 5^-3,  b) (5/7)^-1,  c) (-15)⁰,  d) (a+b)⁰,  e) (-1/2)⁴,  f) (-3/4)^-5, g) (2/3)³

 

Rješenje

 a) 5^-3 = 1/5³ = 1/125

b) (5/7)^-1 = 7/5

c) (-15)⁰ = 1

d) (a+b)⁰ = 1

e) (-1/2)⁴ = 1/2⁴ = 1/16

f) (-3/4)^-5 = (-4/3)⁵ = -1024/243

g) (2/3)³ = 8/27

 

Primjer 4. Napišite u znanstvenom obliku brojeve:

a) 90 000,  b) -351 000 000,  c) 0.000817,  d) 2 351.3.

 

Rješenje

a) 90 000 = 9 * 10⁴

b) -351 000 000 = -3.51 * 10⁸

c) 0.000817 = 8.17 * 10^-4

d) 2 351.3 = 2.3513 * 10³

 

Primjer 5. Izračunajte: 

a) (-1)¹¹ - (-1)⁷,  b) 7^-2 - 7^-1,  c) (-1/3)^-1 + (-1/3)^-2,  d) (2/3)^-2 - (3/4)^-1

 

Rješenje

a) (-1)¹¹ - (-1)⁷ = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0

b) 7^-2 - 7^-1 = 1/49 - 1/7 = -6/49

c) (-1/3)^-1 + (-1/3)^-2 = -3 + 9 = 6

d) (2/3)^-2 - (3/4)^-1 = 9/4 - 4/3 = 11/12

 

 

Računanje s potencijama jednakih baza

 

Ako su m, n cijeli brojevi, onda vrijedi:

 

a^m • aⁿ  = a^m+n

a^m ÷ aⁿ = a^m-n

 

Primjer 1. Pomnožite:

a) 2⁷ • 2¹⁷,  b) 3⁷ • 3²,  c) 4³ • 4^-9,  d) 5¹² • 5^-4,  e) 2 • 2¹⁷,  f) 3 • 3^a,  g) 4 • 4^-15,   h)  11^-2 • 11^-3,  i) 7³ • 7^-3.

 

Rješenje

a) 2⁷ • 2¹⁷ = 2⁷⁺¹⁷ = 2²⁴

b) 3⁷ • 3² = 3⁷⁺² = 3⁹

c) 4³ • 4^-9 = 4^3+(-9) = 4^3-9 = 4^-6

d) 5¹² • 5^-4 = 5^12+(-4) = 5^12-4 = 5⁸

e) 2 • 2¹⁷ = 2¹⁺¹⁷ = 2¹⁸

f) 3 • 3^a = 3^1+a

g) 4 • 4^-15 = 4^1-15 = 4^-14

h)  11^-2 • 11^-3 = 11^-2-3 = 11^-5

i) 7³ • 7^-3 = 7^3-3 = 7⁰ = 1