Matrica je pravokutna tablica realnih brojeva.

Primjeri matrica

1. Kvadratna matrica. Matrica koja ima isti broj redaka i stupaca.

2. Nul matrica. Matrica čiji su svi elementi nule, neovisno kojeg je tipa.

3. Dijagonalna matrica. Kvadratna matrica kojoj su svi elementi van dijagonale jednaki nuli.

4. Jedinična matrica. Dijagonalna matrica čiji su dijagonalni elementi jednaki 1. Označavamo ju slovom I.

5. Trokutasta matrica. Pojam definiran za kvadratne matrice. Matrica je gornja (donja) trokutasta ako su svi njezini elementi ispod (iznad) glavne dijagonale jednaki nuli.

6.Transponirana matrica. Matrica B je transponirana matrica matrice A ako vrijedi (B)_ij = (A)_ji za sve i, j. Transponiranu matricu označavamo simbolom A^T.

7. Simetrična matrica. Matrica za koju vrijedi A^T = A, tj. a_ij = a_ji, za svaki i,j.

8. Vektor kao matrica. Vektor- redak je matrica koja ima samo jedan redak, a vektor-stupac je matrica koja ima samo jedan stupac.

Operacije s matricama

1. Zbrajanje matrica

(A + B)_ij := (A)_ij + (B)_ij

Da bi zbroj bio definiran, matrice A i B moraju biti istog tipa.

2. Množenje matrica skalarom

Neka je λ € R bilo koji skalar. Umnožak matrice A skalarom λ je matrica λA definirana na način (λA)_ij := λ(A)_ij. Odnosno, svaki element matrice se množi skalarom λ.

3. Množenje matrica

Dvije matrice mogu se množiti samo ako su ulančane.  Ako tražimo umnožak AB, matrica A mora biti tipa m x n, a matrica B tipa n x p. Rezultantna matrica će biti tipa m x p.

Neka je matrica A = (a_ij) tipa m x n i B = (b_ij) tipa n x p. Opći element umnoška AB dan je formulom (AB)_ij := a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_inb_nj = ∑a_ikb_kj.

Množenje nije komutativno! AB ‡ BA

Determinante

Svakoj je kvadratnoj matrici pridružen skalar - njezina determinanta. Taj broj označavamo sa detA.

Determinanta matrice prvog reda.

A = [a11]

detA = |a11| = a11

Determinanta matrice drugog reda.

 

Determinanta matrice trećeg reda.

 

Račun se može nastaviti računajući determinantu drugog reda.

Sarrusovo pravilo. 

Vrijedi samo za determinante trećeg reda!

Inverz matrice

Neka je A kvadratna matrica. Matrica A^-1 za koju vrijedi AA^-1 = A^-1A = I naziva se inverzna matrica matrice A. Za matricu kažemo da je regularna ukoliko postoji njezina inverzna matrica A^-1, inače je singularna. Uvjeti inverznosti: detA ‡ 0, r(A) = n.

Elementarne transformacije i reducirani oblik matrice

Gaussov algoritam za računanje inverzne matrice se osniva na sljedećim jednostavnim transformacijama nad retcima matrice koje ćemo nazivati elementarnim transformacijama:

1) Zamjena dvaju redaka.

2) Množenje nekog retka skalarom različitim od nule.

3) Dodavanje nekog retka (pomnoženog skalarom) nekom drugom retku.

Ove transformacije javljaju se pri rješavanju nekoliko različitih problema matrične algebre: 

• Pri rješavanju linearnih sustava. 
• Pri računanju determinanti.
• Pri određivanju ranga matrice.
• Pri nalaženju inverzne matrice.

Matrica je dovedena na reducirani oblik ako vrijedi sljedeće:

• Prvi ne-nul element (stožer) svakog retka iznosi 1. Svi preostali elementi u stupcu tog stožernog elementa jednaki su nuli.
• Svi retci koji sadrže samo nul elemente (ako takvih ima) nalaze se iza onih redaka koji sadrže bar jedan ne-nul element.
• Svaki naredni stožer (gledajući po retcima) nalazi se desno (u retku s većim indeksom) od prethodnog stožera. 

Primjer. Svedimo na reducirani oblik matricu

 

Rang matrice jest broj ne-nul redaka u reducirano m obliku matrice. Označavamo ga simbolom r(A). Npr. u prethodnom primjeru, rang matrice A je 3.

Algoritam za računanje inverzne matrice.

Napišemo matricu tipa n x 2n u kojoj je s desna matrice A napisana jedinična matrica I:

Primjenimo elementarne transformacije na matrici A. Sve transformacije pritom vršimo i na desnoj strani proširene matrice. Rezultat je matrica oblika [A_R|B]. Ako je matrica A_R = I, tada je matrica regularna i s njezine desne strane nalazi se inverzna matrica! Ako je pak A_R ‡ I, matrica nije regularna i ne postoji njoj inverzna matrica.  

Linearna nezavisnost vektora

Vektori a₁, a₂, ..., a_k su linearno nezavisni ako iz jednakosti λ₁a₁ + λ₂a₂ + ... + λ_ka_k = 0 slijedi da svi skalari moraju biti jednaki nuli: λ₁ = λ₂ = ... = λ_k = 0. 

Rang matrice jednak je broju linearno nezavisnih redaka.

Linearni sustavi

 Opći oblik linearnog sustava m jednadžbi s n nepoznanicama glasi:

Taj sustav se može napisati u obliku matrične jednadžbe Ax = b, gdje smo označili

Matrica A naziva se matrica koeficijenta sustava, x je vektor nepoznanica, b desna strana sustava.

Sustav se elementarni m transformacijama svede na ekvivalentan, iz kojeg ćemo moći odrediti njegovo rješenje.

Homogeni sustavi.

Ax = 0 

Ovaj sustav uvijek ima trivijalno rješenje x = 0 koje je jedinstveno ako i samo ako je matrica regularna.

Algoritam: 

• Sustav zapišemo u obliku [A|0]
• Elementarni m transformacijama svedemo na oblik [A_R|0]
• Ako je r(A_R) = n sustav ima jedinstveno rješenje x = 0
• Ako je r(A_R) < n sustav ima beskonačno mnogo rješenja
  - Stupci sa stožerom su vezani stupci
  - Stupci bez stožera su slobodni stupci

Nehomogeni sustav.

Ax = b

Ovaj sustav ima ješenje ako i samo ako je r(A_R) = r(A_R|b).

Algoritam:

• Sustav zapišemo u obliku [A|b]
• Elementarni m transformacijama svedemo na oblik [A_R|b']
• Ako je r(A_R) < r(A_R|b) sustav nema rješenja
• Ako je r(A_R) = r(A_R|b) < n sustav ima beskonačno mnogo rješenja
• Ako je r(A_R) = r(A_R|b) = n sustav ima jedinstveno rješenje