Omjer a : b (čitamo " a naprema b" )  možemo zapisati kao  a / b .

Povećanjem a i b veličina k puta, omjer se ne mijenja , tj.

(a*k) : (b*k) = a : b

Smanjenjem a i b veličine k puta, omjer se ne mijenja, tj.

(a / k) : (b / k) = a : b

 

Ako imamo  a : b = c : d , jednakost omjera, tada tu jednakost zovemo razmjer.

Brojeve a i d zovemo vanjski članovi , a brojeve b i c unutarnji članovi.

VRIJEDI :  a : b = c : d   ako i samo ako je a *d = b * c gdje smo vanjski član pomnožili s vanjskim, a unutarnji s unutarnjim. 

 

Proporcionalnost

a i b su proporcionalne veličine ako je njihov kvocijent konstantna veličina k , tj.

a / b = k

Povećanjem veličine a, povećava se i veličina b , smanjenjem veličine a , smanjuje se i veličina b.

 

Primjer : U trgovini 1 kg jabuka ima cijenu od 7 kn. Kolika će biti cijena 2 kg, 4kg, 5 kg  jabuka?

(U ovom slučaju, veličina  a  su kilogrami, a veličina  b nam je cijena)

1 kg         7 kn

2kg           x kn

_______________

1 : 2 = 7 : x

(vanjski s vanjskim, unutarnji s unutarnjim)

1*x = 2 * 7

x = 14 kn    Dvije kile jabuka bit će 14 kn.

 

1 kg      7 kn

4kg        x kn

_______________

1 : 4 = 7 : x

x = 28 kn      Četiri kile jabuka bit će 28 kn.

 

1kg        7kn

5kg         x kn

_______________

1 : 5 = 7 : x

x = 35 kn   Pet kila jabuka bit će 35 kn

 

POvećanjem kilograma , povećava se i cijena jabuka.

Vidimo da im je kvocijent konstantna veličina  1/7 = 2 / 14 = 4 / 28 = 5 /35

Grafički prikaz proporcionalnkih veličina u koordinatnom sustavu je uvijek PRAVAC!

Ako uzmemo da su nam kilogrami x-koordinata, a cijena jabuka y- koordinata, možemo označiti ove točke (1,7), (2,14), (4,28),(5,35) i vidjeti da smo zaista dobili pravac i to rastući.

 

Obrnuta proporcionalnost

a i b su obrnuto proporcionalne veličine  ako je njihov umnožak konstantna veličina k, tj.  

   a * b = k

Povećanjem veličine a smanjuje se veličina b, a smanjenjem veličine a, povećava se veličina b.

 

Primjer : U vrtu imamo 20 grmova ruža. Ivici treba 20 minuta da ih sve zalije.

a) Ako mu se pridruži i Marica, koliko će im vremena trebati da zaliju sve grmove?

b) Koliko im se još ljudi mora pridružiti da bi bili gotovi za 5 minuta sa svim ružinim grmovima?

 

a)

Ivica       20 min

Ivica i Marica     x minuta

______________________

povećanjem broja ljudi, smanjuje se vrijeme potrebno za zalijevanje, veličina a su nam ljudi, a veličina b vrijeme potrebno za zalijevanje

 

1 : 2 = x : 20

1 * 20 = 2 * x

2x= 20 

x= 10

Znači, Ivica i Marica bit će gotovi za 10 minuta sa svim ružinim grmovima.

 

b)

Ivica i Marica    10 min

x ljudi                5 min

_____________________

2 : x = 5 : 10

2 * 10 = x * 5

5x = 20

x = 4

Četvero ljudi će zalijati za 5 min sve ružine grmove, znači, uz Ivicu i Maricu još dvije mora doći da im pomoge.

 

Umnožak broja ljudi i vremena je konstantna veličina  1* 20 = 2* 10 = 4* 5 .

Grafički prikaz obrnuto proporcionalnkih veličina u koordinatnom sustavu je uvijek HIPERBOLA!

Ako uzmemo da su nam ljudi x-koordinata, a vrijeme y- koordinata, možemo označiti ove točke (1,20), (2,10), (4,5) i  vidjeti da smo zaista dobili hiperbolu i to padajuću.