Matematika

Kvadratna jednadžba

Autor Lovro |

|

|

Kvadratna jednadžba

Kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2, dakle jednadžba općenitog oblika

$ax^2 + bx + c = 0 ,$

koja je poseban slučaj polinoma n-tog reda gdje je n = 2.

Kvadratna jednadžba gdje je b = 0 [uredi]

Može se prikazati u obliku:

$ax^2 + c = 0 ,$

iz čega slijedi da je

$x^2 = -frac{c}{a} ,$

Ukoliko je jedan od članova negativan, jednadžba će imati dva realna rješenja (dva realna korijena)

$x_1 = + sqrt{ frac{c}{a}}, x_2 = - sqrt{ frac{c}{a}} ,$ ,

a ukoliko su oba člana negativna ili pozitivna jednadžba će imati dva imaginarna rješenja

$x_1 = +i sqrt{ frac{c}{a}}, x_2 = -i sqrt{ frac{c}{a}} ,$ .

Kvadratna jednadžba gdje je c = 0

Može se prikazati u obliku

$ax^2 + bx = 0 ,$

što se može prikazati i kao

$x(ax+b) = 0 ,$ .

Rješenja ove jednadžbe bit će očito

$x_1 = 0, x_2 = -frac{b}{a} ,$ ,

gdje ovakav oblik kvadratne jednadžbe ima uvijek realna rješenja.

Kvadratna jednadžba sa svim članovima

Kvadratna jednadžba oblika

$ax^2 + bx + c = 0 ,$

može se jednostavno riješiti ukoliko se kvadratna jednadžba može prikazati kao produkt dva binomna faktora. Na primjer, odmah je vidljivo da se jednadžba

$x^2 + x - 12 = 0 ,$

može prikazati i kao

$(x-3)(x+4) = 0 ,$

gdje je očito da će rješenja jednadžbe biti

$x_1= 3, x_2= -4 ,$

jer upravo za te vrijednosti nezavisne varijable vrijednost funkcije će biti jednaka nuli. Kvadratna jednadžba se, međutim, pojavljuje u tako povoljnim oblicima razmjerno rijetko te najčešće valja poznavati općenito rješenje kvadratne jednadžbe.

Općenito rješenje kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba oblika

$ax^2 + bx + c = 0 ,$

može se transformirati redom kako slijedi

$x^2 + frac{b}{a}x + frac{c}{a} = 0 ,$

$(x + frac{b}{2a}) ^2 + frac{c}{a} -frac{b^2}{4a^2} = 0 ,$

$(x + frac{b}{2a}) ^2 = frac{b^2}{4a^2} - frac{c}{a} ,$

$(x + frac{b}{2a}) ^2 = frac{b^2-4ac}{4a^2} ,$

$x_{1,2} + frac{b}{2a} = pmsqrt{ frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x_{1,2} = -frac{b}{2a} pmsqrt{ frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x_{1,2} = frac{-b pmsqrt{b^2-4ac}}{2a} ,$

gdje posljednja jednakost daje eksplicitna rješenja kvadratne jednadžbe. Izraz

$b^2-4ac,$

naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe te se kvadratnu jednadžba može prikazati i u sljedećem obliku

$x _{1,2} = frac{-b pmsqrt{D}}{2a}. ,$

Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje

Komentari (1)

gost kaže:

	...
	prijavi glasaj protiv glasaj za

16.10.2011
Glasovi: +0

Napišite komentar

Ažurirano (Subota, 14 Svibanj 2011 17:13)

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

prijavite se na stranicu
na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom

Trenutno aktivnih Gostiju: 184