Pravila deriviranja 

1) Derivacija konstantne funkcije f(x)=c, cER 

                                       f^'(x) = 0.

 2)  Derivacija potencije  f(x) = xⁿ , n E R, n≠0 

                                       f^'(x)=nx^n-1.

 3) Derivacija funkcije f(x)=1/x 

                                        f^'(x)= - 1/x² .

 4) Derivacija funkcije f(x)=√x 

                                        f^'(x)= 1/(2√x).

 5) Derivacija negativne potencije , n prirodan broj, f(x)= 1/xⁿ

                                        f^'(x)= -n/(xⁿ⁺¹) .

 6) Derivacija trigonometrijskih funkcija 

    a) f(x)=sinx , f^'(x)=cosx

    b) f(x)=cosx, f^'(x)=-sinx

    c) f(x)=tgx, f^'(x)= 1/(cos²x)

    d) f(x)=ctgx, f^'(x)=-1/(sin²x)

 

 7) Ako su f i g međusobno inverzne funkcije onda vrijedi:

     f^'(x)=1/(g^'(x))

Napomena. f i g su inverzne ako vrijedi : f(x)=y ako i samo ako je g(y)=x, x E D_{f, y E Dg.}

 

 8) Derivacija složene funkcije(ulančano deriviranje)

                                         f(g(x))^' = f^'(g(x))*g^'(x)

Vrijedi slijedeće:

  a) (fⁿ)^'=nf^n-1 * f^'

  b) (sinf)^'=cosf * f^' , (cosf)^'=-sinf * f^' , (tgf)^' =(1/cos²f) * f^', (ctgf)^'=-1/sin²f * f^'

  c) (1/f)^' = -1/f² * f^' 

  d) (1/fⁿ)^'=-n/fⁿ⁺¹*f^'

  e) (√f)^' = (1/2√f) * f^'

 

 9) Vrijedi:

    Derivacija zbroja (f+g)^' = f^'+g^'

    Derivacija umnoška  (f*g)^' = f^'*g+f*g^'

    Derivacija kvocijenta (f/g)^'=( f^'*g - f*g^')/g²

Primjeri:

  1) derivirajte : f(x) = x⁴ - 2x² + 3x - 1

   Riješenje:

   f^'(x)=4x³  -4x + 3 

 

2) derivirajte: f(x)=xsinxcosx 

    Riješenje:

    f^'(x)= /* primjenit ćemo dva puta pravilo produkta */

    = ((xsinx)*cosx)^' = (xsinx)^'* cosx + xsinx* (-sinx)

    = (sinx +xcosx) *cosx -xsin²x =

    =sinxcosx + xcos²x -xsin²x =

     =1/2 sin(2x) + x(cos²x - sin²x) =

     = 1/2 sin(2x) +x( 1 -sin²x - sin²x)=

     = 1/2 sin(2x) + x (1-2sin²x)=

     =1/2 sin(2x) + xcos2x

 

3) Izračunaj f^'(-1) ako je f(x)=√(1-x²/4)

       Riješenje: 

      Prvo primjenimo pravilo za derivaciju složene funkcije:

                              (√f)^' = (1/(2√f)) * f^'

       f^'(x) = (1/(2√(1-x²/4))) * (1-x²/4)^'  =

       =  (1/(2√(1-x²/4)))* (-2x/4)=

       =-1/2 * (1/2) *(1/√(1-x²/4)) * x=

       = -1/4  *(1/√(1-x²/4)) * x

       Sada kada imamo f^' računamo f^'(-1).

       f^'(-1) = (-1/4) * (1/√(1-1/4)) * (-1) =

               = (1/4) * (1/√(3/4)) =

               = (1/4) * 2 * 1/√3 = (1/2√3)