Matematika

Matrica je pravokutna tablica realnih brojeva.

Primjeri matrica

1. Kvadratna matrica. Matrica koja ima isti broj redaka i stupaca.

2. Nul matrica. Matrica čiji su svi elementi nule, neovisno kojeg je tipa.

3. Dijagonalna matrica. Kvadratna matrica kojoj su svi elementi van dijagonale jednaki nuli.

4. Jedinična matrica. Dijagonalna matrica čiji su dijagonalni elementi jednaki 1. Označavamo ju slovom I.

5. Trokutasta matrica. Pojam definiran za kvadratne matrice. Matrica je gornja (donja) trokutasta ako su svi njezini elementi ispod (iznad) glavne dijagonale jednaki nuli.

6.Transponirana matrica. Matrica B je transponirana matrica matrice A ako vrijedi (B)ij = (A)ji za sve i, j. Transponiranu matricu označavamo simbolom AT.

7. Simetrična matrica. Matrica za koju vrijedi AT = A, tj. aij = aji, za svaki i,j.

8. Vektor kao matrica. Vektor- redak je matrica koja ima samo jedan redak, a vektor-stupac je matrica koja ima samo jedan stupac.

Operacije s matricama

1. Zbrajanje matrica

(A + B)ij := (A)ij + (B)ij

Da bi zbroj bio definiran, matrice A i B moraju biti istog tipa.

2. Množenje matrica skalarom

Neka je λ € R bilo koji skalar. Umnožak matrice A skalarom λ je matrica λA definirana na način (λA)ij := λ(A)ij. Odnosno, svaki element matrice se množi skalarom λ.

3. Množenje matrica

Dvije matrice mogu se množiti samo ako su ulančane.  Ako tražimo umnožak AB, matrica A mora biti tipa m x n, a matrica B tipa n x p. Rezultantna matrica će biti tipa m x p.

Neka je matrica A = (aij) tipa m x n i B = (bij) tipa n x p. Opći element umnoška AB dan je formulom (AB)ij := ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj = ∑aikbkj.

Množenje

Množenje nije komutativno! AB ‡ BA

Determinante

Svakoj je kvadratnoj matrici pridružen skalar - njezina determinanta. Taj broj označavamo sa detA.

Determinanta matrice prvog reda.

A = [a11]

detA = |a11| = a11

Determinanta matrice drugog reda.

determinanta2reda

 

Determinanta matrice trećeg reda.

det3red

 

Račun se može nastaviti računajući determinantu drugog reda.

Sarrusovo pravilo. 

Vrijedi samo za determinante trećeg reda!

sarrus

Inverz matrice

Neka je A kvadratna matrica. Matrica A-1 za koju vrijedi AA-1 = A-1A = I naziva se inverzna matrica matrice A. Za matricu kažemo da je regularna ukoliko postoji njezina inverzna matrica A-1, inače je singularna. Uvjeti inverznosti: det‡ 0, r(A) = n.

Elementarne transformacije i reducirani oblik matrice

Gaussov algoritam za računanje inverzne matrice se osniva na sljedećim jednostavnim transformacijama nad retcima matrice koje ćemo nazivati elementarnim transformacijama:

1) Zamjena dvaju redaka.

2) Množenje nekog retka skalarom različitim od nule.

3) Dodavanje nekog retka (pomnoženog skalarom) nekom drugom retku.

Ove transformacije javljaju se pri rješavanju nekoliko različitih problema matrične algebre: 

  • Pri rješavanju linearnih sustava. 
  • Pri računanju determinanti.
  • Pri određivanju ranga matrice.
  • Pri nalaženju inverzne matrice.

Matrica je dovedena na reducirani oblik ako vrijedi sljedeće:

  • Prvi ne-nul element (stožer) svakog retka iznosi 1. Svi preostali elementi u stupcu tog stožernog elementa jednaki su nuli.
  • Svi retci koji sadrže samo nul elemente (ako takvih ima) nalaze se iza onih redaka koji sadrže bar jedan ne-nul element.
  • Svaki naredni stožer (gledajući po retcima) nalazi se desno (u retku s većim indeksom) od prethodnog stožera. 

Primjer. Svedimo na reducirani oblik matricu

a

arj

 

Rang matrice jest broj ne-nul redaka u reducirano m obliku matrice. Označavamo ga simbolom r(A). Npr. u prethodnom primjeru, rang matrice je 3.

Algoritam za računanje inverzne matrice.

Napišemo matricu tipa n x 2n u kojoj je s desna matrice A napisana jedinična matrica I:

inverz

Primjenimo elementarne transformacije na matrici A. Sve transformacije pritom vršimo i na desnoj strani proširene matrice. Rezultat je matrica oblika [AR|B]. Ako je matrica AR = I, tada je matrica regularna i s njezine desne strane nalazi se inverzna matrica! Ako je pak A‡ I, matrica nije regularna i ne postoji njoj inverzna matrica.  

Linearna nezavisnost vektora

Vektori a1, a2, ..., ak su linearno nezavisni ako iz jednakosti λ1a1 + λ2a2 + ... + λkak = 0 slijedi da svi skalari moraju biti jednaki nuli: λ1 = λ2 = ... = λ= 0. 

Rang matrice jednak je broju linearno nezavisnih redaka.

Linearni sustavi

 Opći oblik linearnog sustava m jednadžbi s n nepoznanicama glasi:

l1

Taj sustav se može napisati u obliku matrične jednadžbe Ax = b, gdje smo označili

l2

Matrica naziva se matrica koeficijenta sustavaje vektor nepoznanicab desna strana sustava.

Sustav se elementarni m transformacijama svede na ekvivalentan, iz kojeg ćemo moći odrediti njegovo rješenje.

Homogeni sustavi.

Ax = 0 

Ovaj sustav uvijek ima trivijalno rješenje x = 0 koje je jedinstveno ako i samo ako je matrica regularna.

Algoritam: 

  • Sustav zapišemo u obliku [A|0]
  • Elementarni m transformacijama svedemo na oblik [AR|0]
  • Ako je r(AR) = n sustav ima jedinstveno rješenje x = 0
  • Ako je r(AR) < n sustav ima beskonačno mnogo rješenja
    - Stupci sa stožerom su vezani stupci
    - Stupci bez stožera su slobodni stupci

Nehomogeni sustav.

Ax b

Ovaj sustav ima ješenje ako i samo ako je r(AR) = r(AR|b).

Algoritam:

  • Sustav zapišemo u obliku [A|b]
  • Elementarni m transformacijama svedemo na oblik [AR|b']
  • Ako je r(AR) < r(AR|b) sustav nema rješenja
  • Ako je r(AR) = r(AR|b) < n sustav ima beskonačno mnogo rješenja
  • Ako je r(AR) = r(AR|b) = n sustav ima jedinstveno rješenje 
Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje
Komentari (0)


Napišite komentar

busy

Ažurirano (Utorak, 17 Prosinac 2013 22:09)

 

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

  1. prijavite se na stranicu
  2. na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
  3. sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

classroom

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom
Trenutno aktivnih Gostiju: 552