Matematika/Zagreb

Pretraživanje na karti

Fizika

Elektromagnetsko polje i Maxwellove jednadžbe

Autor Lovro |

|

|

Elektromagnetsko polje jest prostor (vektorsko polje) gdje se opaža energetska interakcija s električnim nabojem odnosno drugim elektromagnetskim poljem. Interakcija je obostrana tako da polje djeluje na naboj a naboj stvara polje. Elektromagnetsko polje je vektorsko tako da se u svakoj prostorno-vremenskoj koordinati mogu jednoznačno odrediti vektori $mathbf{E}$ (električne komponente polja) i $mathbf{B}$ (magnetske komponente polja). Vektorski produkt ovih vektora okomit je na ravninu u kojoj djeluju i predstavlja energiju elektromagnetskog polja (Poyntingov vektor). Interakcija u elektromagnetskom polju odvija se putem elektromagnetskog vala koji se širi u prostoru brzinom svjetlosti.

Maxwellove jednadžbe

Maxwellove jednadžbe opisuju ovisnost električnog i magnetskog polja o nabojima i strujama, a također i njihovo međudjelovanje do kojeg dolazi kada se polja mijenjaju u vremenu. One su temelj klasične elektrodinamike i teorijske elektrotehnike, a razvio ih je James Clerk Maxwell između 1861. i 1864. godine. Koristeći u to doba poznate zakone: Ampèreov zakon, Faradayev zakon indukcije i Gaussov zakon, te postavivši hipotezu o struji pomaka Maxwell ih je sve skupa ujedinio u skladu sa jednadžbom kontinuiteta.

Prikaz jednadžbi

Za razumijevanje slijedećih jednažbi potrebno je poznavati osnove vektorske analize. Maxwellove se jednadžbe mogu prikazati u diferencijalnom i integralnom obliku. Ekvivalencija između ovih oblika zasniva se na Stokesovom i teoremu Gauss-Ostrogradski. Također postoji i četverodimenzionalni oblik koji se koristi u teoriji relativnosti i kvantnoj elektrodinamici.

Najuniverzalniji oblik Maxwellovih jednadžbi je onaj koji opisuju elektromagnetske fenomene u vakuumu, a u diferencijalnom obliku (SI sustav) glasi:

$nablacdotmathbf{E} = frac{rho}{epsilon_0}$

$nablacdotmathbf{B} = 0$

$nablatimesmathbf{E} = -frac{partialmathbf{B}}{partial t}$

$nablatimesmathbf{B} = mu_0mathbf{J} + mu_0epsilon_0frac{partialmathbf{E}}{partial t}$

Gdje je:

$rho$ gustoća električnog naboja, količina električnog naboja po jedinici volumena

$mathbf{J}$ gustoća električne struje, tok električnog naboja po jedinici površine u jedinici vremena

$epsilon_0$ dielektrična konstanta vakuuma

μ₀ permitivnost vakuuma, a jednaka je:

$mu_0=frac{1}{c^2epsilon_0}$

gdje je $c$ brzina svjetlosti.

U Maxwellovim jednadžbama implicitno se pretpostavlja da vrijedi jednadžba kontinuiteta:

${ partial {rho} over partial t} + nabla cdot mathbf{J} = 0$

Ovo je zapravo zakon očuvanja naboja. Za svaki zatvorenu plohu u prostoru, vrijedi da je tok struje koja prolazi kroz tu zatvorenu plohu, jednak promjeni količine naboja u tom prostoru (uz negativni predznak).

Za potpuni opis elektromagnetskih fenomena, pored Maxwell-ovih jednadžbi, nužna je i jednadžba za Lorenzovu silu, kako bi se iz polja mogla odrediti sila:

$mathbf{F} = q(mathbf{E} + mathbf{v} times mathbf{B})$

**Sažeti prikaz Maxwell-ovi jednadžbi u SI jedinicama**
diferencijalni oblik	povezujući teorem	integralni oblik
Gaussov zakon: Izvor električnog polja je električni naboj.	Gaussov	Električni tok kroz zatvorenu plohu jednak je ukupnom električnom naboju u njezinoj unutrašnjosti.
$nablacdotmathbf{E}=frac{rho}{epsilon_0}$	$Leftrightarrow$	$oint_{partial V} mathbf{E} cdotmathrm{d}mathbf{A} = int_V frac{rho}{epsilon_0} mathrm{d}V$
Magnetsko polje nema izvora (ne postoje magnetski monopoli).	Gaussov	Magnetski tok kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je nuli.
$nablacdotmathbf{B}=0$	$Leftrightarrow$	$oint_{partial V} mathbf{B}cdotmathrm{d}mathbf{A} = 0$
Faradayev zakon indukcije: Svaka promjena magnetskog polja stvara električno polje.	Stokesov	Integral vektora električnog polja po zatvorenoj krivulji jednak je negativnoj promjeni po vremenu magnetskog toka obuhvaćenog tom krivuljom.
$nablatimesmathbf{E} = -frac{partialmathbf{B}}{partial t}$	$Leftrightarrow$	$oint_{partial A}mathbf{E}cdotmathrm{d}mathbf{s} = -frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}int_Amathbf{B}cdotmathrm{d}mathbf{A}$
Prošireni Ampèreov zakon: Oko vodiča kojim teče struja inducira se magnetsko polje, ali i svako promjenjivo električno polje inducirati će magnetsko polje.	Stokesov	Integral vektora jakosti magnetskog polja po zatvorenoj krivulji jednak je zbroju struje i vremenske promjene električnog toka obuhvaćenih tom krivuljom.
$nablatimesmathbf{B} = mu_0mathbf{J} + mu_0epsilon_0frac{partialmathbf{E}}{partial t}$	$Leftrightarrow$	$oint_{partial A}mathbf{B}cdotmathrm{d}mathbf{s} = int_Amu_0mathbf{J}cdotmathrm{d}mathbf{A} + frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}int_Amu_0epsilon_0mathbf{E}cdotmathrm{d}mathbf{A}$

Interpretacija Maxwellovih jednadžbi

Prva jednadžba govori da je električni naboj izvor (ili ponor) električnog polja. Ukupni električni tok kroz zatvorenu plohu proporcionalan je količini električnog naboja koji se nalazi unutar volumena te plohe. Ako unutar te zatvorene plohe nema električnog naboja (ili je količina pozitivnog jednaka količini negativnog električnog naboja), ukupni električni tok kroz tu zatvorenu plohu je nula. No, to ne znači da u tom volumenu uopće nema električnog polja, već samo da ukupni tok iščezava. Dakle, ako nema električnog naboja u tom promatranom volumenu, koliko silnica električnog polja ulazi kroz plohu koja opisuje volumen, toliko silnica negdje i izlazi iz te iste zatvorene plohe.

Druga Maxwell-ova jednadžba slična je prvoj (u situaciji u kojoj ne postoji naboj), ali opisuje magnetsko polje. Ova jednadžba izriče da ne postoji "magnetski naboj" (magnetski monopol), tj. ne postoji izvor magnetskog polja, iz kojega bi proizlazio magnetski tok različit od nule. U svakoj točki prostora, količina silnica magnetskog polja koja ulazi u tu točku jednaka je količini silnica koje izlaze iz te točke, silnice magnetskog polja nemaju izvora (ili ponora). Stoga ukupni magnetski tok kroz zatvorenu plohu uvijek iščezava. To vrijedi i za izvore magnetskog polja, stoga je svaki izvor magnetskog polja barem dipol.

Maxwellove jednadžbe u makroskopskom mediju

Maxwellove jednadžbe opisuju ponašanje električnog i magnetskog polja svugdje u prostoru, ako su poznati svi izvori tj. naboji i struje. U opisu makroskopskih objekata takav pristup nije moguć iz dva razloga. Prvo, broj nabijenih čestica u atomima i nuklearnim jezgrama vrlo je velik. Drugi je razlog da sa makroskopske točke gledanja, svi detalji u ponašanju polja i naboja na atomskim i molekularnim dimenzijama nisu relevantni. Ono što je bitno, to je prosječna vrijednost polja i izvora u volumenu koji je velik u usporedbi sa jednim atomom ili molekulom. Ovakve prosječne vrijednost nazivaju se makroskopska polja i makroskopski izvori. U ovom slučaju Maxwellove jedandžbe poprimaju oblik:

$nablacdotmathbf{D} = {rho_{slob.}}$

$nablacdotmathbf{B} = 0$

$nablatimesmathbf{E} + frac{partialmathbf{B}}{partial t} = 0$

$nablatimesmathbf{H} - frac{partialmathbf{D}}{partial t} = {mathbf{J}_{slob.}}$

Gdje je:

$mathbf{D}$ polje električnog pomaka

$mathbf{H}$ magnetizirajuće polje

${rho_{slob.}}$ gustoća slobodnog električnog naboja (ukupna gustoća električnog naboja minus gustoća vezanih električnih naboja)

${mathbf{J}_{slob.}}$ gustoća slobodne električne struje (ukupna gustoća električne struje minus gustoća vezanih električnih struja)

Veličine $mathbf{D}$ i $mathbf{H}$ nije jednostavno odrediti, jer je u njima sadržana cjelokupna kompleksnost interakcije polja i sredstva (medija, tj. materijala u kojem se polje nalazi). Moguće je da ove veličine ovise o prethodnom stanju sredstva (histereza), također moguće je da su nelinearne i prostorno anizotropne. Ove jednadžbe za polja u sredstvu nisu toliko univerzalne kao početno navedene jednadžbe. Ipak, J.C. Maxwell ih je na sličan način prvobitno formulirao. Veze između $mathbf{E}$ i $mathbf{D}$ te između $mathbf{B}$ i $mathbf{H}$ zovu se konstitutivne relacije.

U najjednostavnijem slučaju pretpostavlja se, da su električna i magnetska svojstva sredstva homogena i izotropna, te da se polja ne mijenjaju intenzivno u vremenu. U stvarnosti to vrijedi za dielektrične i paramagnetske materijale. Tada vanjsko električno polje stvara polarizaciju $mathbf{P}$ , koja je linearno proporcionalna električnom polju, dok magnetsko polje stvara magnetizaciju $mathbf{M}$ proporcionalnu magnetskom polju, te vrijedi:

$mathbf{P} = chi_e epsilon_0 mathbf{E}$

$mathbf{M} = chi_m mathbf{H}$

Tada je:

$mathbf{D} = epsilon_0 mathbf{E} + mathbf{P} = epsilon_0 (1 + chi_e) mathbf{E} = epsilon mathbf{E}$

$mathbf{B} = mu_0 ( mathbf{H} + mathbf{M} ) = mu_0 (1 + chi_m) mathbf{H} = mu mathbf{H}$

Veza Maxwellovih jednadžbi i specijalne teorije relativnosti

Čista elektrostatika (samo Coulombov zakon) je nekonzistentna s Lorentzovim transformacijama koje predviđa specijalna teorija relativnosti, a isto tako su Maxwellove jednadžbe nekonzistentne s Galilejevim transformacijama, što je, povjesno gledajući i dovelo do otkrića specijalne teorije relativnosti. Može se pokazati da su Maxwellove jednadžbe relativistička generalizacija elektrostatike.

Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje

Komentari (0)

Napišite komentar

Ažurirano (Srijeda, 09 Studeni 2011 10:48)

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

prijavite se na stranicu
na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom

Trenutno aktivnih Gostiju: 93