Matematika

Iznos brzine je derivacija puta po vremenu:

v={ds over dt}

pri čemu s označava funkciju s(t) koja je pređeni put (duljina pređene putanje) do trenutka t, računajući od nekog početnog trenutka ili položaja. Ono označava funkciju v(t), koja se može mijenjati od trenutka do trenutka, ali ne može biti negativna.

Ta se definicija izvodi iz znatno očiglednijeg pojma prosječnog (srednjeg) iznosa brzine. Npr, ako točka prijeđe put od 12 metara u vremenskom intervalu od 4 sekunde, ona u prosjeku prelazi put od 3 m po jednoj sekundi toga intervala. Prosječni iznos brzine je 3 m/s, dobija se dijeljenjem pređenog puta s pripadajućim vremenskim intervalom, i pokazuje da je metar u sekundi (m/s) mjerna jedinica za brzinu u SI sustavu. (Uz nju, često se koriste i jedinice izvan toga sustava, npr. kilometri na sat (km/h), čvorovi (brodski promet), Machov broj itd.)

No, točka je mogla kojekako ubrzavati i usporavati svoje gibanje tijekom te 4 sekunde, pa bi se istim postupkom dobile različite prosječne brzine u kraćim vremenskim podintervalima. Zato se "pravi" iznos brzine (kaže se: trenutni) dobija zamišljenim skraćivanjem vremenskog intervala na "beskonačno mali interval" oko pojedinog trenutka. Postupak se naziva graničnim prijelazom i definira pojam derivacije; derivacija puta po vremenu je "granična vrijednost" omjera pređenog puta i pripadnog vremenskog intervala kada vremenski interval "teži" prema nuli.

Dok iznos brzine opisuje samo kako brzo točka prelazi put, brzina kao vektorska veličina, koja ima i iznos i smjer, opisuje kako se brzo mijenja položaj točke koja se giba. Stoga se ona definira pomoću vektora položaja.

Brzina je derivacija vektora položaja po vremenu:

vec{v}={dvec{r} over dt}

Vektor položaja (ili radij-vektor) scriptstyle vec r točke koja se giba je, dakako, funkcija vremena. Ako u trenutku scriptstyle t točka ima položaj scriptstyle vec r (t), ona će se nakon vremenskog intervala scriptstyle Delta t pomaknuti u položaj scriptstyle vec r (t+ Delta t). Promjena položaja (ili pomak) točke tijekom toga vremenskog intervala je vektor scriptstyleDelta vec{r}=vec r (t+ Delta t)-vec r (t), koji se dobija oduzimanjem prvoga vektora položaja od drugoga (lijeva strana donje skice).

Dijeljenjem vektora promjene položaja scriptstyle Delta vec r s pripadnim vremenskim intervalom scriptstyle Delta t dobije se prosječni vektor brzine u tome intervalu. Da bi se dobio trenutni vektor brzine (kraće: brzina), treba koristiti derivaciju (kao i kod definicije iznosa brzine).

Vektor brzine možemo prikazati pomoću skalarnih komponenata, npr. u Kartezijevom koordinatnom sustavu: scriptstyle vec v=({v}_{x},{v}_{y},{v}_{z}). Tada možemo vektorsku jednadžbu za definiciju brzine rastaviti na tri skalarne jednadžbe

{v}_{x}={dx over dt}
{v}_{y}={dy over dt}
{v}_{z}={dz over dt}

budući da su komponente vektora položaja upravo Kartezijeve koordinate točke, tj. scriptstyle vec r=(x,y,z). Brzina promjene x-koordinate točke jednaka je skalarnoj komponenti brzine točke u smjeru osi x, itd. Skalarna komponenta brzine može, naravno, biti pozitivna ili negativna. Npr. vx(t) je negativna kada se koordinata x(t) umanjuje tijekom vremena (a pripadna vektorska komponenta brzine je u suprotnom smjeru od koordinatne osi). Pređeni put s(t), međutim, ne može se tijekom vremena umanjivati (nego raste i prilikom gibanja u suprotnom smjeru), pa njegova derivacija (što je definicija iznosa brzine) ne može biti negativna.

U mnogim slučajevima, osobito kod kompliciranijih gibanja, u praktičnom se računu iznos brzine određuje iz vektora brzine, npr. pomoću Kartezijevih komponenata

v=sqrt{(v_x)^2 + (v_y)^2  + (v_z)^2 }

Tek nakon toga može se izračunati pređeni put u nekom vremenskom intervalu od t1 do t2 pomoću integrala

s=int_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}v,mathrm{d}t

tj. ne računa se iznos brzine iz pređenog puta, nego obrnuto.

Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje
Komentari (1)


gost kaže:

25.07.2014
Glasovi: +0

Napišite komentar

busy

Ažurirano (Četvrtak, 13 Listopad 2011 12:35)

 

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

  1. prijavite se na stranicu
  2. na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
  3. sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

classroom

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom
Trenutno aktivnih Gostiju: 267