Matematika

Kompleksni brojevi

U ovom poglavlju definirat ćemo skup kompleksnih brojeva $ mathbb{C}$, osnovne računske operacije s kompleksnim brojevima i njihova svojstva, trigonometrijski oblik kompleksnog broja i operacije s brojevima u trigonometrijskom obliku te eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

Motivacija za uvođenje kompleksnih brojeva je sljedeća: jednadžba $ x^2-1=0$ ima dva rješenja u skupu $ mathbb{R}$, $ x=1$ i $ x=-1$, dok slična jednadžba $ x^2+1=0$ nema niti jedno rješenje. Stoga se imaginarna jedinica $ i$ definira tako što su $ x=i$ i $ x=-i$ rješenja jednadžbe $ x^2+1=0$. Iz ove definicije slijedi

$displaystyle % i^2=-1,quad i^3=-i,quad i^4=-icdot i=-(-1)=1,quad i^5=i, quad i^6=-1, ldots. $

 

 

Definicija Skup kompleksnih brojeva $ mathbb{C}$ je skup svih brojeva oblika $ z=x+iy$, gdje su $ x,yin mathbb{R}$. Posebno je $ 0=0+i0$. Realni broj $ x=mathop{mathrm{Re}}nolimits z$ je realni dio kompleksnog broja $ z$, a realni broj $ y=mathop{mathrm{Im}}nolimits z$ je imaginarni dio kompleksnog broja $ z$. Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi. Konjugirano kompleksni broj broja $ z=x+iy$ je broj $ bar z=x-iy$. Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja $ z$ je nenegativni realni broj $ r=vert zvert=sqrt{x^2+y^2}$.

Neka su $ z_1=x_1+iy_1$ i $ z_2=x_2+iy_2$ dva kompleksna broja. Računske operacije su definirane na sljedeći način:

$displaystyle z_1+z_2$ $displaystyle = x_1+x_2+i(y_1+y_2),$
$displaystyle z_1-z_2$ $displaystyle = x_1-x_2+i(y_1-y_2),$
$displaystyle z_1cdot z_2$ $displaystyle = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+iy_1x_2+ix_1y_2+i^2y_1y_2$
$displaystyle = x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1),$
$displaystyle frac{z_1}{z_2}$ $displaystyle = frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}cdot frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2}$
$displaystyle = frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, quad textrm{za}quad z_2neq 0.$
Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje
Komentari (3)


gost kaže:

0
Opet!
Opet prepisano! Kao i ostatak ?lanaka od navedenog autora!
 
18.09.2011
Glasovi: -1

gost kaže:

0
...
z na cetvrtu + jedan = nula
dal netko zna kako se nadu rjesenja ovoga
 
21.10.2011
Glasovi: +0

gost kaže:

01.04.2012
Glasovi: +1

Napišite komentar

busy

Ažurirano (Utorak, 17 Svibanj 2011 15:40)

 

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

  1. prijavite se na stranicu
  2. na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
  3. sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

classroom

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom
Trenutno aktivnih Gostiju: 198