Pomaganje pri učenju
Pomaganje pri učenju/Zagreb
Njemački jezik
Njemački jezik/Zagreb
Matematika
Matematika/Zagreb
Matematika
Matematika/Split
Matematika
Matematika/Split
Matematika
Matematika/Zagreb
Pomaganje pri učenju
Pomaganje pri učenju/split
Matematika
Matematika/Zagreb
Matematika
Matematika/Zagreb i Velika Gorica
Matematika
Matematika/Zagreb
Matematika
Matematika/ZAGREB
Pomaganje pri učenju
Pomaganje pri učenju/zagreb

Pretraživanje na karti

karta

Matematika

Usmjerene derivacije

Neka su zadani skup $ Din mathbb{R}^3$, točka $ T_0in D$ i vektor $ mathbf{a}$ s hvatištem u točki $ T_0$. Neka je

$displaystyle mathbf{a}_0 =frac{mathbf{a}}{vertmathbf{a}vert} $
jedinični vektor vektora $ mathbf{a}$ [M1, §3.6]. Neka točka $ T$ leži na zraci određenoj vektorom $ mathbf{a}$ i neka je
$displaystyle overrightarrow{T_0T}=t  mathbf{a}, qquad tgeq 0. $
Uz ovakvu deiniciju parametra $ t$ očito vrijedi $ d(T_0,T)=t$.

 

 

Definicija  Derivacija skalarnog polja $ U:Dto mathbb{R}$ u točki $ T_0$ u smjeru vektora $ mathbf{a}$ je broj
$displaystyle frac{partial U }{partial mathbf{a}}=lim_{tto 0} frac{U(T)-U(T_0)}{t}. $
Derivacija vektorskog polja $ mathbf{w}:Dto V_0$ u točki $ T_0$ u smjeru vektora $ mathbf{a}$ je vektor
$displaystyle frac{partial mathbf{w}}{partial mathbf{a}}=lim_{tto 0} frac{mathbf{w}(T)-mathbf{w}(T_0)}{t}. $

Sljedeći teorem daje jednostavne formule za računanje usmjerenih derivacija.

 

 

Teorem Vrijedi
$displaystyle displaystyle frac{partial U(T) }{partial mathbf{a}}$ $displaystyle = mathbf{a}_0 cdot mathop{mathrm{grad}}nolimits U(T),$
$displaystyle displaystyle frac{partial mathbf{w}(T) }{partial mathbf{a}}$ $displaystyle = (mathbf{a}_0cdot nabla)   mathbf{w}(T).$

 

Dokaz.
Dokažimo prvu tvrdnju teorema. Neka u sustavu $ (O,mathbf{i},mathbf{j}, mathbf{k})$ vrijedi $ T=(x,y,z)$, $ T_0=(x_0,y_0,z_0)$ i $ U(T)=U(x,y,z)$. Tada jednakost
$displaystyle overrightarrow {OT}=overrightarrow {OT_0}+overrightarrow {T_0T} $
zapisujemo kao
$displaystyle x  mathbf{i}+y  mathbf{j} + z  mathbf{k}$ $displaystyle = x_0  mathbf{i}+y_0  mathbf{j} + z_0  mathbf{k} +t  mathbf{a}_0$
$displaystyle = (x_0+t  mathbf{a}_0 cdot mathbf{i})   mathbf{i} + (y_0+t... ...thbf{j})   mathbf{j} + (z_0+t  mathbf{a}_0 cdot mathbf{k})   mathbf{k}.$

Dakle, za svaku točku $ T$ na zraci određenoj točkom $ T_0$ i vektorom $ mathbf{a}$ vrijedi
$displaystyle x=x_0+t  mathbf{a}_0 cdot mathbf{i},quad y=y_0+t  mathbf{a}_0 cdot mathbf{j}, quad z=z_0+t  mathbf{a}_0 cdot mathbf{k}. $
Stoga je limes iz definicije u stvari jednak derivaciji funkcije jedne varijable
$displaystyle g(t)=f(x_0+t  mathbf{a}_0 cdot mathbf{i},y_0+t  mathbf{a}_0 cdot mathbf{j}, z_0+t  mathbf{a}_0 cdot mathbf{k}) $
u točki $ t=0$. Dakle,
$displaystyle displaystyle frac{partial U(T) }{partial mathbf{a}}(T_0)=displaystyle frac{dg}{dt}biggvert _{t=0}$ $displaystyle =left(displaystyle frac{partial f}{partial x} displaystyle... ...artial z} displaystyle frac{partial z}{partial t} right)biggvert _{t=0}$
$displaystyle =left(displaystyle frac{partial f}{partial x}   mathbf{a}_... ...tyle frac{partial f}{partial z}   mathbf{a}_0cdot mathbf{k} right)(T_0)$
$displaystyle =mathbf{a}_0 cdot left( displaystyle frac{partial f}{parti... ...athbf{j} displaystyle frac{partial f}{partial z}(T_0)   mathbf{k} right)$
$displaystyle =mathbf{a}_0 cdot mathop{mathrm{grad}}nolimits U(T_0).$
Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje
Komentari (0)


Napišite komentar

busy

Ažurirano (Utorak, 17 Svibanj 2011 15:41)

 

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

  1. prijavite se na stranicu
  2. na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
  3. sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

classroom

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Latinski jezik
Latinski jezik/Zagreb (Jarun, Trešnjevka)
Latinski jezik
Latinski jezik/Zagreb
Hrvatski jezik
Hrvatski jezik/Zagreb
Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom
Trenutno aktivnih Gostiju: 427 
Besplatno oglašavanje
APARTMANA
na 15 Online kataloga
i 13 jezika