MATEMATIČKA INDUKCIJA

ZADATAK

1x3 + 3x5 +…+ (2n-1) (2n+1) = 1/3n (4n² + 6n -1)

Pretpostavljam da je ta tvrdnja točna! S obzirom da imam opću jednadžbu iskazanu preko nepoznanice n, to znači da ako je ova tvrdnja točna da vrjedi za sve brojeve. Prvo ću izabrati bilo koji broj (u pravilu se uzima broj 1) da provjerim dali za njega vrjedi ova tvrdnja.

1.      korak   (jednostavno uvrstimo)   

 n=1

(2x1 – 1) x (2x1 +1) = 1/3 x 1 (4x1² + (6x1)-1)

                                 3=3

Zaključak: za broj 1 vrjedi ova tvrdnja..

kako dokazati da i za svaki drugi broj vrjedi ova tvrdnja?

Ako ova tvrdnja vrjedi za sve n-ove vrjedit će i za onaj sljedeći broj!! Sljedeći broj ćemo dobiti kada uvrstimo n+1 u jednadžbu (2n-1)(2n+1)

2.      korak

Prema tome posljednji član ovog niza glasi

(2 (n+1)-1) (2(n+1)+1),  nakon što smo dodali novi član niz izgleda ovako:

1x3 + 3x5 +…+ (2n-1)(2n+1) + (2(n+1)-1)(2(n+1)+1)=….

zbroj svih članova ne glasi više  n (4n² +6n -1) nego mu moramo pribrojiti i novi član koji smo dodali. Kako? Uvrstit ćemo n+1

Pa će zbroj svih članova glasiti S_n = 1/3(n+1) (4 (n+1)²  +6(n+1) -1)

Znači da je niz

1x3 + 3x5 +…+ (2n-1)(2n+1) + (2(n+1)-1)(2(n+1)+1) = 1/3(n+1) (4 (n+1)²  + 6(n+1) -1)

3.      korak

Sjeti se!!! zadatak glasi

1x3 + 3x5 +…+ (2n-1) (2n+1) = 1/3n (4n² + 6n -1)

1x3 + 3x5 +…+ (2n-1)(2n+1) + (2(n+1)-1)(2(n+1)+1) = 1/3(n+1) (4 (n+1)²  + 6(n+1) -1)

Pa uvrstimo da je:

 n (4n² + 6n -1) + (2(n+1)-1)(2(n+1)+1) = 1/3(n+1) (4 (n+1)²  + 6(n+1) -1)

Ako je jednakost ispravna naša pretpostvka s početka je  točna



gost kaže:

	matematička indukcija pozdrav Da li bi mogli da mi riješite ovaj zadatak. Jako mi mi je bitno , http://upload.slike.com/?v=gsU4.png
	prijavi glasaj protiv glasaj za

12.11.2012
Glasovi: +0

Naslov

Komentar

manje | veće

Dodaj kometar