Uređenom paru (O_x, O_y) polupravaca sa zajedničkim vrhom koji ne leže na istom pravcu pridružimo pripadni otvoreni kutni isječak dobiven kao presjek poluravnine P_x , koja sadrži O_y, omeđene polupravcem O_x ,  i poluravnine P_y , koja sadrži O_x, omeđene polupravcem O_y.

Zatvoreni kutni isječak dobiva se kao presjek zatvorenih poluravnina.

(Zatvorena poluravnina = unija poluravnine s pripadnim graničnim pravcem.)

 

                 

Dva para (O_x, O_y) i (O'_x', O'_y') nazivaju se kongruentnima ako postoji izometrija f takva da je f(O_x)=O'_x' i f(O_y)=O'_y'.

Kongruencija je relacija ekvivalencije, a pripadne klase ekvivalencije nazivamo kutovi.

Klasu koja pripada paru (O_x, O_y) označavamo sa ∡xOy.

 

Ako se pravci O_x i O_y podudaraju, odnosno ako su komplementarni[1] , tada se klasa ∡xOy naziva ispruženi kut.

Ako su polupravci jednaki, tada tu klasu nazivamo nul-kut.

Ako su pravci O_x i O_y okomiti, klasu ∡xOy nazivamo pravi kut.

 

TEOREM

Neka je O_x polupravac, a P zatvorena poluravnina omeđena pravcem O_x. Za svaki kut postoji jedinstveni reprezetant oblika (O_x, O_y) pri čemu je O_y ∈ P.

 

Posebno odavde slijedi da postoji jedinstveni polupravac O_y koji je okomit na O_x i leži u P.

 

Neka je K skup svih kutova. Na skupu K definirajmo binarnu relaciju ≤  na slijedeći način: α ≤  β <=> (Sα podskup od Sβ)

 

≤  je relacija totalnog uređaja na K i svaki podskup iz K ima infimum i supremum.

 

Neka je zadan ∡xOy. Sa S(O_x,, O_y) označimo zatvoreni kutni isječak. Reći ćemo da je kut γ zbroj kutova α i β i pisati  γ = α+β, ako postoje polupravci O_x, O_y, O_z, takvi da je

                                     α=∡xOy, β=∡yOz, γ=∡xOz

i da je 

                                     S(O_x, O_z)= S(O_x, O_y) ∪ S(O_y, O_z).

 

               

                              

Unutarnja simetrala polupravaca O_x i O_y je polupravac O_z koji leži unutar kuta ∡xOy.

U ovom slučaju kažemo da je ∡xOz jednak polovini ∡xOy.

Pravi kut je jedinstveni kut koji je polovina ispruženog kuta.

Indukcijom slijedi da se za zadani kut uvijek može definirati niz α_n=2^-nα.

 

Prop.  Za svaki kut α i svaki prirodni broj u postoji jedinstven broj q_n ∈ ℕ₀ takav da je:

q_n2^-mω ≤ α < (q_n + 1)2^-mω,  gdje je ω ispruženi kut.

Za svaki kut α vrijedi α = sup{q2^-mω} ; pri čemu vrijedi: α ≥ q2^-mω , 0 ≤ q ≤  2^m, m ∈ ℕ.

 

DEF.  Mjera neorijentiranih kutova je svaka strogo rastuća funkcija φ : K=>ℝ takva da vrijedi

                                     φ(α+β) = φ(α) + φ(β)

kada je suma α+β definirana.

               

TEOREM

Za svaki realan broj s>0 postoji jedinstvena mjera kutova φ : K=>ℝ⁺ takva da je φ(ω)=s i φ je bijekcija sa K na segment [0,s].

                        

Dokaz

Dokaz se bazira na funkciji φ : K=>ℝ⁺ definiranoj na slijedeći način: φ(q2^-mω) = q2^-ms

                               φ(α) = sup{φ(x)| α ≥  x = q2^-mω; 0≤ q≤ 2^m; m ∈ ℕ}

Ako je zadan neki kut α=∡xOy, onda je njime potpuno određen njegov kutni isječak Sα. Dogovorno se uzima da je komplementarni zatvoreni isječak (M\Sα) ∪ (O_x ∪ O_y) također isječak nekog kuta koji ima iste krakove kao i polazni kut. Takav kut nazivamo izbočeni kut.

 

Dogovorno uzimamo da je mjera takvog kuta 2ω - α, 360°- α, tj.  2∏-α .

Puni kut je kut čija je mjera 360° ili 2∏.