Matematika

 

Uređenom paru (Ox, Oy) polupravaca sa zajedničkim vrhom koji ne leže na istom pravcu pridružimo pripadni otvoreni kutni isječak dobiven kao presjek poluravnine Px , koja sadrži Oy, omeđene polupravcem Ox ,  i poluravnine Py , koja sadrži Ox, omeđene polupravcem Oy.

Zatvoreni kutni isječak dobiva se kao presjek zatvorenih poluravnina.

(Zatvorena poluravnina = unija poluravnine s pripadnim graničnim pravcem.)

 

                 

Dva para (Ox, Oy) i (O'x', O'y') nazivaju se kongruentnima ako postoji izometrija f takva da je f(Ox)=O'x' i f(Oy)=O'y'.

Kongruencija je relacija ekvivalencije, a pripadne klase ekvivalencije nazivamo kutovi.

Klasu koja pripada paru (Ox, Oy) označavamo sa xOy.

 

Ako se pravci Ox i Oy podudaraju, odnosno ako su komplementarni[1] , tada se klasa xOy naziva ispruženi kut.

Ako su polupravci jednaki, tada tu klasu nazivamo nul-kut.

Ako su pravci Ox i Oy okomiti, klasu xOy nazivamo pravi kut.

 

TEOREM

Neka je Ox polupravac, a P zatvorena poluravnina omeđena pravcem Ox. Za svaki kut postoji jedinstveni reprezetant oblika (Ox, Oy) pri čemu je Oy P.

 

Posebno odavde slijedi da postoji jedinstveni polupravac Oy koji je okomit na Ox i leži u P.

 

Neka je K skup svih kutova. Na skupu K definirajmo binarnu relaciju  na slijedeći način: α  β <=> (Sα podskup od Sβ)

 

 je relacija totalnog uređaja na K i svaki podskup iz K ima infimum i supremum.

 

Neka je zadan xOy. Sa S(Ox,, Oy) označimo zatvoreni kutni isječak. Reći ćemo da je kut γ zbroj kutova α i β i pisati  γ = α+β, ako postoje polupravci Ox, Oy, Oz, takvi da je

                                     α=xOy, β=yOz, γ=xOz

i da je 

                                     S(Ox, Oz)= S(Ox, Oy) S(Oy, Oz).

 

               

                              

Unutarnja simetrala polupravaca Ox i Oy je polupravac Oz koji leži unutar kuta xOy.

U ovom slučaju kažemo da je xOz jednak polovini xOy.

Pravi kut je jedinstveni kut koji je polovina ispruženog kuta.

Indukcijom slijedi da se za zadani kut uvijek može definirati niz αn=2-nα.

 

Prop.  Za svaki kut α i svaki prirodni broj u postoji jedinstven broj qn 0 takav da je:

qn2-mω α < (qn + 1)2-mω,  gdje je ω ispruženi kut.

Za svaki kut α vrijedi α = sup{q2-mω} ; pri čemu vrijedi: α q2-mω , 0 q  2m, m ∈ .

 

DEF.  Mjera neorijentiranih kutova je svaka strogo rastuća funkcija φ : K=> takva da vrijedi

                                     φ(α+β) = φ(α) + φ(β)

kada je suma α+β definirana.

               

TEOREM

Za svaki realan broj s>0 postoji jedinstvena mjera kutova φ : K=>+ takva da je φ(ω)=s i φ je bijekcija sa K na segment [0,s].

                        

Dokaz

Dokaz se bazira na funkciji φ : K=>+ definiranoj na slijedeći način: φ(q2-mω) = q2-ms

                               φ(α) = sup{φ(x)| α  x = q2-mω; 0q2m; m ∈ }

Ako je zadan neki kut α=xOy, onda je njime potpuno određen njegov kutni isječak Sα. Dogovorno se uzima da je komplementarni zatvoreni isječak (M\Sα) (Ox Oy) također isječak nekog kuta koji ima iste krakove kao i polazni kut. Takav kut nazivamo izbočeni kut.

 

Dogovorno uzimamo da je mjera takvog kuta 2ω - α, 360°- α, tj.  2-α .

Puni kut je kut čija je mjera 360° ili 2.

 



[1] komplementarni polupravci = polupravci koji imaju zajednički vrh i leže na istom pravcu, ali su različiti

Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje
Komentari (1)


gost kaže:

01.11.2012
Glasovi: +0

Napišite komentar

busy

Ažurirano (Srijeda, 01 Travanj 2009 11:25)

 

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

  1. prijavite se na stranicu
  2. na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
  3. sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

classroom

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom
Trenutno aktivnih Gostiju: 268