Matematika

Euklidska ravnina (ili kraće ravnina) je skup M čije elemente nazivamo točkama, a neke njezine istaknute podskupove zovemo pravcima. Ta dva tipa objekata zadovoljavaju slijedeće aksiome.

 




I.                    AKSIOMI INCIDENCIJE (PRIPADANJA)

 

1.       Za svake dvije različite točke A, B M postoji jedinstven pravac iz M kojemu one pripadaju. Taj se pravac označava sa AB.

2.       Na svakom pravcu leže bar tri različite točke. Postoje tri nekolinearne točke, tj. tri takve točke koje ne leže na jednom te istom pravcu.

 

 

 

 

II.                  AKSIOMI UREĐAJA

 

1.       Na svakom pravcu ravnine postoje točno dva međusobno suprotna linearna uređaja.


Aksiom  II1 omogućava da se definira pojam ’’ležati između’’, te pomoću njega pojam dužine i polupravca.

 

Neka su A, B M različite točke ravnine. Onda prema I1 postoji jedinstveni pravac na kojem one leže. Za točku t M, za koju vrijedi T AB,  A 1 T1 B   V  A 2 T 2 B , kažemo da leži na pravcu AB.

Skup { t AB | A 1 T1 B   V  A 2 T 2 B} nazivamo dužinom AB i označavamo AB. Točke A i B nazivamo krajevima ili rubnim točkama dužine AB.

Polupravac kojemu je A početna točka (ili vrh) a  prolazi točkom B A je skup točaka T pravca AB za koje vrijedi A 1 T1 B   V  A 1 B 1 T.

Polupravac s vrhom A označavat ćemo s AX ( x = smjer).

 

Za skup K M kažemo da je konveksan ako vrijedi A, B K à AB K.

 

Neka je S M bilo koji skup. Konveksna ljuska od S (ozn. convS)  je presjek svih konveksnih skupova koji sadrže S. To je ujedno i najmanji (u smislu inkluzije)  konveksan skup koji sadrži S.

Neka su A, B, C M nekolinearne točke. Tada conv{A, B, C} nazivamo trokut s vrhovima A, B, C, a dužine AB, BC, AC nazivamo stranicama trokuta.

Trokut označavamo s ABC.

 

2.       Ako pravac sječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom na toj stranici onda on siječe bar još jednu stranicu.

  

 

III.                 AKSIOMI METRIKE

 

Postoji funkcija d: M x M => i nazivamo je metrika (ili razdaljinska funkcija na M ako vrijedi:

1.)     d(A, B) 0 , A, B M

d(A, B) = 0   <=> A =B

2.)     d(A, B) = d(B, A),  A, B M

3.)     d(A, B)  d(A, C) + d(B, C), A, B, C M i pri tome znak jednakosti vrijedi akko je C AB

4.)     Za svaki polupravac Ox s vrhom u točki O i za svaki realni broj a postoji jedinstvena točka T na tom polupravcu takva da je d(O, T) = a.

 

Broj d(A, B) zovemo duljinom dužine AB, ili udaljenost točaka A i B. Ponekad se taj broj označava i sa |AB|

 

                DEF.1.  Za f : M  => M kažemo da je izometrija ako vrijedi 

                                                   d(f(A), f(B)) = d(A, B), A, B M.

                               Odmah se vidi da je svaka izometrija injekcija jer je:

f(A) = f(B)  =>  d(f(A), f(B)) = 0   =>   d(A, B) = 0   =>   A = B

                              

                               Primjeri izometrije : translacija, rotacija, identiteta (idM : M x M)

 

IV.                AKSIOMI

 

1.      Za svaki pravac p postoji jedinstvena izometrija sp različita od identitete za koju vrijedi sp(T) = T,  T P. Izometrija sp zove se osna simetrija (ili zrcaljenje) obzirom na pravac p. Pravac p naziva se os simetrije.

2.       Za svaki par (Ox, Oy) polupravaca s vrhom O postoji bar jedan pravac p takav da je      sp(Ox) = Oy).

                                                                                  

                                                                                      

                 Neka je u ravnini M dan pravac p. Definiramo binarnu relaciju ρ na M\p sa

AρB <=> AB ∩ p =

 

                  Prop.1.  Relacija ρ je relacija ekvivalencije koja M\p rastavlja  na dvije klase ekvivalencije koje se zovu  poluravnine definirane sa p.

                  

Na skupu definirana je metrika d : x ℝ => na slijeći način: d(x, y) = |x-y|, x, y .

Za pravac kažemo da je orijentiran ako smo na njemu odabrali jednu od dvije relacije uređaja.

Prop.2.  Za svaki orijentirani pravac p i svaku točku Op postoji jedinstvena rastuća bijekcija f: p => za koju je f(O) = 0 i d(A, B) = |f(A) - f(B)| , A, B p.

 

Korolar 1.  Za svaki rastući par A, B M različitih točaka postoji jedinstvena točka C na pravcu AB za koju je d

(A, C) =d(B, C).

Ta točka leži između A i B i zove se polovište dužine  AB.


Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje
Komentari (1)


nina_dancing kaže:

0
aksiomi
ej,jel bi mi mogla ukratko objasnit kaj su to aksiomi u logici?
 
21.05.2009
Glasovi: +1

Napišite komentar

busy

Ažurirano (Srijeda, 01 Travanj 2009 11:28)

 

Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Stranica Moje Instrukcije za vrijeme školske godine bilježi preko 100 000 posjeta mjesečno, stoga nemojte propustiti priliku i popunite svoje slobodne termine s nama.

Imate objavljen oglas, istaknite ga:

  1. prijavite se na stranicu
  2. na oglasu kliknete na "Istaknite svoj oglas"
  3. sljedite jednostavne upute

Detaljniji opis i cjenik

classroom

Pišite lekcije i povećajte posjećenost svog oglasa

Pišite kratke lekcije i pomognite djeci u njihovoj potrazi za znanjem, a vaš oglas će biti prikazan u vrhu lekcije koju ste napisali. Na taj način možete i jednostavno dogovoriti instrukcije umjesto da vas traže preko tražilice u moru ostalih instruktora.

Detaljnije

Predajte novi oglas Istaknite svoj oglas i povećajte posjećenost do 6 puta

Novo! Imate pitanje? Postavite ga ovdje! Postavite pitanje Instruktori, odgovarajte na pitanja, jer su odgovori i komentari povezani sa Vašim oglasom
Trenutno aktivnih Gostiju: 238